Línuleg og einsleit mismun jöfnu af fyrstu röð. dæmi um lausnir

Ég held að við ættum að byrja með sögu glæsilega stærðfræði tól sem mismunadrif jöfnur. Eins og öll útlönd og órofa stærðfræðigreiningu, voru þessar jöfnur fundin upp af Newton á 17. öld. Hann taldi að það væri uppgötvun hans svo mikilvæg að jafnvel dulkóðuð skilaboð, sem í dag er hægt að þýða sem hér segir: ". Allir lögum náttúrunnar lýst því mismunadrif jöfnur" Það kann að virðast ýkjur, en það er satt. Hvaða lögmál eðlisfræði, efnafræði, líffræði, er hægt að lýsa með þessum jöfnur.

Gífurleg framlag til þróunar og sköpun kenningar um mismunadrif jöfnur með stærðfræði Euler og Lagrange. Þegar á 18. öld sem þeir uppgötva og þróa það sem er nú að læra á eldri háskólanámi.

A nýr áfangi í rannsóknum á mismunadrif jöfnur hófst þökk Anri Puankare. Hann skapaði "eigindleg kenningu um mismunadrif jöfnur", sem, ásamt kenningar um aðgerðir á flóknum breytum stuðlað verulega að stofnun Topology - vísindi rými og eiginleikum þess.

Hvað eru mismunadrif jöfnur?

Margir eru hræddir við setningu "mismunadrif jöfnu". Hins vegar, í þessari grein munum við setja fram í smáatriðum kjarna þessa mjög gagnlegur stærðfræði tól sem er í raun ekki eins flókið og það virðist af titlinum. Til að byrja að tala um fyrsta stigs mismunadrif jöfnur, verður þú fyrst að kynnast helstu hugtökum sem eru í eðli sínu tengjast þessari skilgreiningu. Og við munum byrja með mismunadrifi.

mismunadrif

Margir vita þetta hugtak síðan menntaskóla. Hins vegar er enn búa á það í smáatriðum. Ímyndaðu þér grafi fallsins. Við getum aukið það að svo miklu leyti sem einhver hluti hennar verður beina línu. Það verður að taka tvö stig sem eru óendanlega nálægt hvert öðru. Munurinn á milli hnit þeirra (x eða y) samanstendur af infinitesimal. Og það er kallað mismunadrif og stafir tilnefna dy (differential y) og DX (mismunadrif x). Það er mikilvægt að skilja að vaxtamunurinn er ekki fullkominn gildi, og þetta er merking og helstu hlutverk.

Og nú verður þú að íhuga eftirfarandi þætti, sem við munum þurfa að útskýra mismun jöfnu hugtak. Hún - afleiða.

afleiða

Allar okkar hlýtur að hafa heyrt í skólanum og þessa hugmynd. Þeir segja að afleiðan - er vöxtur eða minnkun á virkni. Hins vegar er þetta skilgreining verður meira truflandi. Leyfðu okkur að reyna að útskýra afleidd skilmálum munur. Við skulum fara aftur til infinitesimal bil virka með tvö atriði, sem eru staðsett í lágmarks fjarlægð frá hvor öðrum. En jafnvel lengra þessum fjarlægð aðgerð er kominn tími til að breyta að einhverju gildi. Og jafnframt að lýsa breytinguna og koma upp við afleiðu sem annars myndi skrifað sem hlutfall á milli þess mikill munur er: f (x) '= df / dx.

Nú er nauðsynlegt að huga að helstu eiginleika afleiðu. Það eru aðeins þrír:

1. Afleiða summa eða munurinn getur verið fulltrúi sem summu eða mismun afleiðanna: (a + b) '= a' + B ', og (ab)' = A'-B '.
2. Annað Eignin er tengdur við margföldun. Afleidd verk - er summa verk af einni til í starfi afleiðu: (A * B) '= a' * B + A * B '.
3. The afleiða af mismuninum Hægt er að skrifa eins og eftirfarandi jöfnu: (a / b) '= (a' * BA * b ') / b ^2.

Allar þessar aðgerðir koma sér vel til að finna lausnir á diffurjöfnu fyrstu röð.

Einnig eru að hluta afleiður. Gerum ráð fyrir að hafa fall af z, sem veltur á breyturnar x og y. Til að reikna út hluta afleiðu af þessari aðgerð, til dæmis í x, við þurfum að taka breytilega y fyrir stöðug og auðvelt að greina á milli.

óaðskiljanlegur

Annar mikilvægur hugtak - óaðskiljanlegur. Í raun er það andstæða afleiðu. Heildi eru nokkrar tegundir, en einfaldasta lausnir af mismunadrif jöfnur, þurfum við mest léttvæg óákveðinn heildi.

Svo, hvað er óaðskiljanlegur? Segjum að við höfum einhverja tengsl f x. Við taka af því er óaðskiljanlegur og fá búnaðurinn virki F (x) (það er oft vísað til sem frumstæðar), sem er afleidd af upphaflegu hlutverki. Þess vegna F (x) '= f (x). Þetta felur einnig í að stofnfall afleiðunnar er jöfn upphaflegu hlutverki.

Í að leysa mismunadrif jöfnur það er mjög mikilvægt að skilja merkingu og hlutverk óaðskiljanlegur, þar sem mjög oft að taka þær til að finna lausnir.

Jöfnur eru mismunandi eftir eðli þeirra. Í næsta kafla munum við líta á gerðir fyrstu röð mismunadrif jöfnur, og þá læra hvernig á að leysa þau.

Flokkar mismunadrif jöfnur

"Diffury" deilt með röð af afleiðum sem taka þátt í þeim. Þannig er það fyrsta, annað, þriðja eða meira til. Þeir geta einnig verið skipt í nokkra flokka: venjulegum og hluta.

Í þessari grein munum við fjalla um diffurjafna af fyrstu röð. Dæmi og lausnir við ræða í eftirfarandi köflum. Við skoðum aðeins hámarksafla því það er algengasta tegund af jafna. Venjulegt skipt í undirtegundir: með aðskildum breytur, einsleit og ólíkum. Næst verður þú að læra hvernig þeir eru mismunandi frá hvor öðrum, og læra hvernig á að leysa þau.

Í samlagning, þessir jöfnur er hægt að sameina, svo að eftir að við fáum kerfi mismunadrif jöfnur af fyrstu röð. Slík kerfi, horfum við líka á og læra hvernig á að leysa.

Af hverju erum við að íhuga aðeins fyrstu röð? Vegna þess að það er nauðsynlegt að byrja með einfalt og lýsa öllum tengslum við mismunadrif jöfnur, í einni grein að það er ómögulegt.

Jöfnur með aðskildum breytur

Þetta er ef til vill mest einföld fyrstu röð mismunadrif jöfnur. Þetta eru dæmi sem hægt er að setja fram sem: y '= f (x) * f (y). Til að leysa þessi jafna sem við þurfum þar sem birtingarmyndin uppskrift af afleiöu sem hlutfall á milli þess mikill munur er: y '= dy / dx. Með það þá fáum við jöfnu: dy / dx = f (x) * f (y). Nú getum við snúið við aðferð við að leysa staðlaða dæmi: að aðskilja breytur í hlutum, þ.e. hratt áfram alla breytilega y í hluta þar sem það er dy, og einnig gera breytu x ... Við fá jöfnu á forminu: dy / f (y) = f (x) DX, sem er náð með því að taka heildum tveimur hlutum. Ekki gleyma um fasti sem þú vilt setja á eftir samruna.

Lausnin samkvæmt einhverri "diffura" - er fall af x eftir Y (í okkar tilviki), eða ef það er tala sem segir ástand, svarið er tala. Við skulum skoða áþreifanleg dæmi alla leið á ákvörðun:

Y '= 2y * sin (x)

Flytja breytur í mismunandi áttir:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Nú taka heildi. Öllum þeim er hægt að finna í sérstökum töflunni heildum. Og við fáum:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

Ef þörf er á, getum við tjáð "y" sem fall af "X". Nú getum við sagt að mismunur jafna okkar er leyst, ef ekki tilgreint ástand. Getur verið skilgreindur ástand, til dæmis, y (n / 2) = e. Þá munum við einfaldlega skipta verðmæti þessara stærða í ákvörðuninni og finna gildi stöðug. Í dæminu okkar, er það 1.

Einsleit fyrsta stigs diffurjöfnu

Nú á að flóknari hlutum. Einsleitar fyrsta stigs diffurjöfnu Hægt er að skrifa í almennri form af: y '= z (x, y). Það skal tekið fram að réttur hlutverk tveggja breyta er samræmt, og það er ekki hægt að skipta í tvo eftir: z X og Z á y. Athugaðu hvort jafna er einsleitt eða ekki, er alveg einfalt: við gera skiptinguna x = k * x og y = k * y. Nú erum við að skera alla k. Ef þessi bréf eru lækkað, þá jafnan einsleit og er óhætt að halda áfram að lausn þess. Horft fram á veginn, segja við: meginreglunni um lausn á þessum dæmum er einnig mjög einfalt.

Við þurfum að gera f sér skipti sem: y = t (x) * X, þar sem t - fall sem einnig veltur á x. Þá getum við tjáð afleiðu: y '= t' (x) * x + t. Skipta öllu þessu inn í jöfnu okkar upprunalegu og einfalda það, höfum við dæmi um aðskilnað breytur t og x. Leysa það og fá háður T (x). Þegar við fengum það, einfaldlega skipta fyrri skiptinguna okkar y = t (x) * x. Þá erum við að fá ósjálfstæði y á x.

Til að gera það skýrara, eigum við skiljum dæmi: x * y '= Yx * e y / x.

Þegar stöðva skipti á öllu minnkandi. Svo, jafnan er mjög einsleit. Nú gera annað skiptihvarf, talaði við um: y = t (x) * x og Y '= t' (x) * x + t (x). Eftir einföldunar eftirfarandi jöfnu: t '(x) * x = -E t. Við ákveðum að fá sýnishorn með aðskildum breytur og við ^{fáum: e -t = ln (C *} x). Við þurfum bara að skipta um t af y / x (vegna þess að ef y = T * x, þá = T y / x), og við fáum ^{svar: E y / x = ln (} x * C).

Línuleg mismunadrif jöfnur af fyrstu röð

Það er kominn tími til að íhuga aðra breið efni. Við munum líta ólíkum fyrsta stigs mismunadrif jöfnur. Hvernig þeir eru mismunandi frá fyrri tveimur? Við skulum andlit það. Línuleg fyrsta stigs diffurjöfnu aukning á almennum formi jöfnunni Hægt er að skrifa þannig: y '+ g (x) * y = z (x). Það ætti að vera skýrt að z (x) og g (x) getur verið stöðug gildi.

Hér er dæmi: + y '+ - y * x = x ^2.

Það eru tvær leiðir til að leysa, og við pantað skulum skoða þau bæði. The fyrstur - aðferð við breytingu á rauntölufasta.

Til að leysa jöfnuna á þennan hátt, það er nauðsynlegt að jafngilda fyrsta hægra megin við núll, og leysa leiðir jöfnu sem eftir yfirfærsla hluta verður:

Y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y ■ xdx;

LN | Y | = x ^2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^CI; Y = C ₁ * E ^{x2 / 2.}

Nú er nauðsynlegt að skipta stöðugt C ₁ á fallinu v (x), sem við munum finna.

Y = v * E ^{x2 / 2.}

Teiknaðu skipti afleiðu:

^{Y '= v' * E x2} / ^2-X * V * E ^{x2 / 2.}

Og skipta þessum orðasambönd í upprunalegri jöfnu:

V '* E ^{x2 / 2} - x * V * E ^{x2 / 2} + x * V * E ^{x2 / 2} = x ^2.

Þú getur séð að í vinstri hlið af tveimur hugtökum eru minni. Ef einhver dæmi sem gerðist ekki, þá hefur þú gert eitthvað rangt. Við höldum áfram að:

V '* E ^{x2 / 2} = x ^2.

Nú erum við að leysa venjulega jöfnu sem þú vilt að skilja breytur:

DV / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * E ^{- x2 / 2} dx.

Til að fjarlægja óaðskiljanlegur, verðum við að beita samþættingu af hlutum hér. Hins vegar er þetta ekki umfjöllunarefni þessarar greinar. Ef þú hefur áhuga, getur þú lært á eigin spýtur til að framkvæma slíkar aðgerðir. Það er ekki erfitt, og með nógu kunnátta og umönnun er ekki tímafrekt.

Með vísan til annarri aðferðinni sem lausnin af misleitu jöfnum: Bernoulli aðferð. Hvað nálgun er fljótlegra og auðveldara - það er komið að þér.

Svo, þegar leysa þessa aðferð, þurfum við að gera skipta: y = k * n. Hér k og n - sumir virka eftir x. Þá afleiðan mun líta út eins: y '= k' * n + l sl * n '. Staðgönguvara tveir skiptihvörf með jöfnunni:

K '* n + l sl * n ' + x * K * n = x ^2.

Group upp:

K '* n + K * ( n' + x * n) = x ^2.

Nú er nauðsynlegt að jafngilda núlli, sem er í sviga. Nú, ef þú sameina tvær leiðir jöfnur, fá við kerfi fyrstu röð mismunadrif jöfnur til að leysa:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Fyrsti jafnrétti ákveða hvernig venjulega jöfnu. Til að gera þetta, þú þarft að skilja breytur:

DN / dx = x * v;

DN / n = xdx.

Við tökum óaðskiljanlegur og við að fá: ln (N) = x ^2/2. Þá, ef við tjá n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nú í stað leiðir jöfnu í seinni jöfnunni:

k '* E ^{x2 / 2} = x ^2.

Og umbreyta, við að fá sömu jöfnu og í fyrsta aðferð:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Við mun ekki ræða frekari aðgerða. Það er sagt að á fyrstu fyrstu gráðu mismunadrif jöfnur lausn veldur talsverðum erfiðleikum. Hins vegar dýpri immersion í efni er farin að fá betri og betri.

Hvar eru mismunadrif jöfnur?

Mjög virk mismunadrif jöfnur notaðar í eðlisfræði, sem nánast allar helstu lög eru skrifaðar í mismunagreiningu formi, og þeir formúlur, sem við sjáum - lausn á þessum jöfnum. Í efnafræði, þeir eru notaðir af sömu ástæðu: helstu lög eru fengnar í gegnum þau. Í líffræði, eru Diffurjöfnur notuð til að lýsa hegðun kerfa, ss rándýr - bráð. Þeir geta einnig vera notaður til að búa til líkan af æxlun, td þyrpingar örvera.

Eins mismunadrif jöfnur hjálpa í lífinu?

Svarið við þessari spurningu er einfalt: ekkert. Ef þú ert ekki vísindamaður eða verkfræðingur, það er ólíklegt að þeir vilja vera gagnlegur. Hins vegar, ekki meiða að vita hvað mismunadrif jöfnur og það er leyst fyrir almenna þróun. Og þá er spurningin um son eða dóttur, "hvað mismunadrif jöfnu?" ekki setja þig í blindgötu. Jæja, ef þú ert vísindamaður eða verkfræðingur, þá þú vita the mikilvægi þetta efni í hvaða vísindum. En mest um vert, að nú við spurningunni "hvernig á að leysa mismunadrif jöfnur af fyrstu röð?" þú verður alltaf að vera fær um að gefa svar. Sammála, það er alltaf gaman þegar þér grein fyrir að það sem fólk er jafnvel hræddur við að finna út.

Helstu vandamál í rannsókninni

Helsta vandamálið í skilningi þetta efni er slæmur venja af samþættingu og aðgreining virka. Ef þú ert óþægilegt TEKUR afleiður og heildi, er það líklega meira virði að læra, til að læra mismunandi aðferðir við samþættingu og aðgreiningu, og aðeins þá halda áfram að rannsókn á efni sem hefur verið lýst í greininni.

Sumir eru hissa á að læra að dx hægt er að flytja, eins og áður (í skóla) hélt því fram að það brot dy / dx er óskipt. Þá þarftu að lesa bókmenntir á afleiðu og skilja að það er viðhorf óendanlega litlu magni, sem hægt er að handleika í að leysa jöfnur.

Margir gera ekki strax grein fyrir því að lausnin mismunadrif jöfnur af fyrstu röð - þetta er oft virka eða neberuschiysya óaðskiljanlegur, og þetta blekking gefur þeim miklum vandræðum.

Hvað annað er hægt að rannsaka til að skilja betur?

Það er best að byrja frekar immersion í heimi mismunadrif tannsteins á sérhæfðum kennslubókum, til dæmis, í stærðfræðigreiningu fyrir nemendur sem ekki stærðfræði sérkennum. Þú getur þá fara í fleiri sérhæfðum bókmenntir.

Það er sagt að í viðbót við útlönd, það eru enn óaðskiljanlegur jöfnur, þannig að þú verður alltaf að hafa eitthvað til að leitast fyrir og hvað á að læra.

niðurstaða

Við vonum að eftir að hafa lesið þessa grein sem þú verður að hafa hugmynd um hvað Diffurjöfnur og hvernig á að leysa þau á réttan hátt.

Í öllum tilvikum, stærðfræði í hvaða hátt gagnlegt fyrir okkur í lífinu. Það þróar rökfræði og athygli, án þess að hver maður, sem með höndum.