Geometrísk framrás. EXAMPLE til ákvörðun

Lítum röð.

7 28 112 448 1792 ...

sýnir greinilega að verðmæti einhverju þætti hennar en fyrri nákvæmlega fjórum sinnum. Svo, þetta röð er framrás.

rúmfræðilega framrás kallað óendanlega röð af tölum, uppistaðan sem er að eftirfarandi fjöldi er fengin úr ofangreindum því að margfalda með einhverjum ákveðinn fjölda. Þetta er gefið upp samkvæmt eftirfarandi formúlu.

_{a Z 1 = a z · Q} , þar sem Z - fjöldi af valda frumefni.

Samkvæmt því, Z ∈ N.

A tími þegar skólinn er rannsökuð geometrísk framrás - 9. bekk. Dæmi munu hjálpa að skilja hugmyndina:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 febrúar ...

Byggt á þessari formúlu, að framvinda nefnara er að finna á eftirfarandi hátt:

Hvorki q, eða b _Z má ekki vera núll. Einnig, hver af þeim þáttum í röð númer framgangi ætti ekki að vera núll.

Samkvæmt því, til að sjá næstu fjölda a tala, margfalda seinni af q.

Að skilgreina þessa framvindu, verður þú að tilgreina fyrsta þáttur af því og nefnara. Eftir það er hægt að finna eitthvað af eftirfarandi meðlimir og magn þeirra.

tegundir

Það fer eftir q og _1, þessi hreyfing er skipt í nokkrar tegundir:

• Ef a _1, og Q er meiri en eitt, þá runa - að aukast með hverri röð frumefni af rúmfræðilegu framrás. Dæmi um þau eru hér á eftir.

Dæmi: a ₁ = 3, q = 2 - stærri en einn, báða þessa þætti.

Þá runa af tölum má skrifa sem:

3 6 12 24 48 ...

• Ef | q | minna en einn, þ.e., það er jafngildir margföldun með skiptingu, framrás með svipuð skilyrði - minnkandi geometrísk framrás. Dæmi um þau eru hér á eftir.

Dæmi: a ₁ = 6, Q = 1/3 - a ₁ er meiri en einn, Q - minna.

Þá runa af tölum má skrifa á eftirfarandi hátt:

2. jún 03/02 ... - allir þáttur fleiri þættir Eftirfarandi það er 3 sinnum.

• Skiptis. Ef Q <0, merki um fjölda af röðinni sem til skiptis stöðugt, án tillits til a _1, og þá þætti um fjölgun eða fækkun.

Dæmi: a ₁ = -3, Q = -2 - eru bæði minni en núll.

Þá runa af tölum má skrifa sem:

3, 6, -12, 24, ...

formúla

Fyrir þægilegur nota, það eru margir geometrísk progressions af formúlum:

• Formula Z-ta tíma. Það gerir útreikning á frumefni í tilteknum fjölda án þess að reikna fyrri tölur.

Dæmi: Q = 3, a = ₁ 4. nauðsynlegt að reikna fjórða þáttur framrás.

Lausn: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Summa fyrstu þáttum, sem tala er jöfn z. Það gerir útreikning á summa allra þætti í röðinni sem er ekki _Z innifalið.

≠ 0, svona, q er ekki 1 - (q 1) Þar eð (1- q) er með í nefnara, þá.

Athugið: Ef q = 1, þá er framrás hefði fulltrúa fjölda endalaust að endurtaka númer.

Upplýsingar um upphæð Veldishraða dæmi: a ₁ = 2, q = -2. Reikna S _5.

Lausn: S ₅ = 22 - útreikning uppskrift.

• Upphæð ef | q | <1, og þegar Z hefur tilhneigingu til að óendanlegu.

Dæmi: a ₁ = _2, q = 0.5. Finndu summu.

Lausn: S _z = 2 x = 4

Ef við reikna summu nokkurra meðlima handbók, munt þú sjá að það er örugglega skuldbundinn til fjögur.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3,9375 4

Sumir eiginleikar:

• Einkennandi eiginleiki. Ef eftirfarandi skilyrði Það hefur fyrir hvaða z, þá gefið tölulega röð - a geometrísk framrás:

a _^Z2 = A _{z -1} · A _{Z + 1}

• Það er einnig veldi hvaða númer er veldishraða með viðbót af reitum hinna tveggja talna í hverri röð, ef þeir eru jafnlangt frá frumefni.

² a _z = a _{z - t} ² ₊ a _Z + _t ² þar sem t - sem fjarlægðin á milli þessara talna.

• Þættir þeir eru mismunandi eftir Q sinnum.
• The logariþmi af þætti framvindu auk mynda framvindu, en tölur, það er, hvert þeirra meira en fyrri með ákveðnum fjölda.

Dæmi um nokkur klassískum vandamálum

Til að skilja betur hvað geometrísk framrás, með ákvörðun dæmum um 9. bekk geta hjálpað.

• Reglur og skilyrði: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Find q.

Lausn: hvert á fætur þáttur í meira en áður q tími. Það er nauðsynlegt að tjá einhverjum þáttum með öðrum í gegnum nefnara.

Þar af leiðandi, a ₃ = q ² · a ₁

Þegar skipt er q = 4

• Skilyrði: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Reikna S _6.

Lausn: Til að gera þetta, nægir það til að finna q, fyrsta frumefni og í staðinn inn í formúluna.

a ₃ = q · _2, þar af leiðandi, q = 2

a ₂ = q · A _1, svo a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Finndu fjórða þáttur framrás.

Lausn: það er nóg til að tjá fjórða þáttur í fyrstu og í gegnum nefnara.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Dæmi um notkun:

• Bank viðskiptavinur hefur lagt summan af 10.000 rúblur, þar sem á hverju ári viðskiptavinurinn að höfuðstól verður bætt 6% af henni þó. Hversu mikið fé er á reikningnum eftir 4 ár?

Lausn: Upphafleg fjárhæð sem svarar til 10 þúsund rúblur. Svo ári eftir að fjárfestingar í reikninginn verður samsvarandi fjárhæð 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Í samræmi við það, að upphæð á reikningnum, jafnvel eftir eitt ár verði fram sem hér segir:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1,06 · 10000

Það er, á hverju ári að upphæð hækkað í 1,06 sinnum. Þess vegna, til að finna fjölda reikningnum eftir 4 ár, nægir það til að finna fjórða þáttur framvindu, sem er gefið fyrsta þáttur jafnt í 10 þúsund, og nefnara sem svarar til 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Dæmi um vandamál í útreikning samtölu:

Í ýmsum vandamálum með geometrísk framrás. Dæmi um að finna summu má setja eins og hér segir:

a ₁ = 4, q = 2, reikna S _5.

Lausn: allar nauðsynlegar upplýsingar um útreikning eru þekkt, einfaldlega skipta þeim í formúlunni.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. reikna summu af fyrstu sex þætti.

lausn:

The Geom. framfarir hvers þáttur í næsta stærri en fyrri q sinnum, það er, til að reikna út upphæð sem þú þarft að vita þátturinn a ₁ og nefnara q.

₂ · q = a ₃

q = 3

Á sama hátt, þarf að finna _{1, 2} og vita q.

₁ · q = a ₂

a ₁ = 2

Og þá nægir það til að skipta við þekkt gögn í formúlu upphæð.

S ₆ = 728.