Maclaurin og niðurbrot í sumar aðgerðir

Að læra háþróaða stærðfræði ætti að vera ljóst að summa veldaraðar í bili samruna fjölda oss, er samfelld og ótakmarkaðan fjölda skipta sem þroskuð virka. Spurningin vaknar: er hægt að halda því fram að miðað handahófi f (x) - er summan af veldaraðar? Það er, við hvaða aðstæður sem f-tions f (x) má tákna með veldaraðar? Mikilvægi þessa útgáfu er að það er hægt að skipta um £ Theological f (x) er summa fyrstu skilmálum veldaraðar, sem er margliða. Slík skipti aðgerð er alveg einfalt mál - margliða - er þægilegt og á að leysa ákveðin vandamál í stærðfræðigreiningu, þ.e. að leysa heildi við útreikning mismunadrif jöfnur , etc ...

Það er sannað, er að í sumum f-ii f (x), þar sem derivatives of the (n + 1) -th röð er hægt að reikna út, þar á meðal nýjustu í grennd við (o - R; x ₀ + R) of a punktinum x = a sanngjörn uppskrift er:

Þessi uppskrift er nefnt eftir hinni frægu vísindamaður Brooke Taylor. Ýmis sem er dregið frá fyrri einn, er kenndur við Maclaurin röð:

A regla sem gerir það mögulegt að framleiða stækkun í Maclaurin röð:

1. Ákvarða afleiður fyrsta, annað, þriðja, ... röð.
2. Reiknað út hversu hátt eru afleiður í x = 0.
3. Upptaka Maclaurin röð fyrir þessa aðgerð, og þá til að ákvarða bilið samleitni.
4. Ákvarða bil (-R; R), þar sem leifar hluta með formúlu Maclaurin

R _n (x) -> 0 fyrir n -> Infinity. Ef það er til staðar, það fallið f (x) verður að vera jöfn summu Maclaurin röð.

Íhuga nú Maclaurin röð fyrir einstökum aðgerðum.

1. Þannig, fyrsta sé F (x) = e ^x. Að sjálfsögðu, að eiginleikar þeirra svo F-Ia stafað margs konar skipunum, og f ^{(k) (x)} = e ^x, þar sem k er jafnt allra náttúrlegar tölur. Varamaðurinn x = 0. Við fá f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Byggt á framangreindu, a tala af e ^x Það mun vera eins og hér segir:

2. Maclaurin röð fyrir fallið f (x) = sin x. Strax tilgreina að F-tions fyrir allar óþekktu afleiðum muni hafa, að auki f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{F-' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * K / 2), þar sem k hefur svipuð áhrif og jákvæða heiltölu. Það er, að einfalda útreikninga, getum við gert til þess röð fyrir f (x) = sin x verður svona:

3. skulum nú íhuga IJU f-f (x) = cos x. Það er vitað fyrir allar sértilviki afleiðunnar með handahófskennt röð, og ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + K * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Aftur, það hafa gert nokkrar útreikninga, finnum við að röð fyrir f (x) = cos x mun líta svona út:

Svo höfum við skráð mikilvægustu aðgerðir sem hægt er að þenja í Maclaurin röð, en þeir styðja við Taylor röð fyrir sumar aðgerðir. Nú munum við skrá þá eins og heilbrigður. Það ætti einnig að geta að Taylor röð og Maclaurin röð eru mikilvægur hluti af verkstæði röð ákvarðana í æðri stærðfræði. Svo, Taylor röð.

1. Í fyrsta lagi er röð af F-ii f (x) = ln (1 + x). Eins og í fyrri dæmum fyrir þetta sem við F (x) = ln (1 + x) er hægt að brjóta saman í númer, við notkun á almennu formi Maclaurin röð. En fyrir þessa aðgerð Maclaurin er hægt að fá miklu auðveldara. Að samþætta a kvótaröð, við fá númer fyrir f (x) = ln (1 + x) af sýninu:

2. Og annað, sem verður endanleg í þessari grein, verður röð fyrir f (x) = arctg x. Stendur fyrir X tilheyra bilinu [1; 1] er gild niðurbrot:

Það er allt. Í þessari grein sem ég hef kannað mest notaða Taylor röð og Maclaurin röð í æðri stærðfræði, einkum á sviði efnahags- og tækniskóla.