Munur - hvað er þetta? Hvernig á að finna mismun á virkni?

Ásamt afleiðum hlutverk þeirra munur - það sumir af the undirstöðu hugtök af mismunadrif stærðfræðigreiningu, aðalkafla í stærðfræðigreiningu. Sem órjúfanlega tengd, bæði af þeim nokkrum öldum notaður í að leysa nánast öll vandamál sem upp komu í tengslum við vísinda- og tæknisvið.

The tilkoma af hugtakinu mismunadrifi

Í fyrsta skipti gert það ljóst að slíkt vaxtamun, einn af stofnendum (ásamt Isaakom Nyutonom) vaxtamunur Stærðfræðigreining fræga þýska stærðfræðingur Gotfrid Vilgelm Leybnits. Áður en að stærðfræðingar 17. öld. nota mjög óljós og óljósar hugmyndir um nokkurt infinitesimal "óskipt" vitað er fall, alþingismaður mjög lítið stöðugt gildi en ekki jafnt og núll, sem er af gildum virka getur ekki verið bara. Þess vegna var það aðeins eitt skref til upptöku af hugtökin infinitesimal þrepum upp á rök virka og viðkomandi þrepum þeirra af þeim aðgerðum sem hægt er að gefa upp í sértilviki afleiðunnar með síðarnefnda. Og þetta skref var tekið nánast samtímis ofangreindar tvö stóru vísindamenn.

Byggt á nauðsyn þess að takast á aðkallandi hagnýt aflfræði vandamál sem steðja vísindi ört vaxandi iðnaði og tækni, Newton og Leibniz skapað sameiginlega leiðir að finna störf hraða breytinga (sérstaklega með tilliti til vélrænni hraða meginmál þekkt braut), sem leiddi til upptöku slíkra hugtaka, sem afleidd virka og mismunadrifi, og einnig fann reiknirit öfug vandamál lausnir sem þekkt per se (breytu) hraðastillingar liggur að finna leið sem hefur leitt til hugtakið óaðskiljanlegur Ala.

Í verkum Leibniz og Newtons hugmynd fyrst það virtist að munur - er í réttu hlutfalli við aukningu á helstu rök ÖH þrepum Δu aðgerðir sem hægt er að tekist beitt til að reikna út verðmæti þess síðarnefnda. Með öðrum orðum, þeir hafa uppgötvað að vöxtur virka getur verið á hvaða lið (innan ríki sínu skilgreiningarvanda) er tjáð í gegnum sína afleiddan bæði Δu = y '(x) ðH + αΔh þar α ÖH - eftir er, tending núlli og ðH → 0, miklu hraðar en í raun SH.

Samkvæmt stofnendum stærðfræðilegri greiningu, mismunadrif - þetta er einmitt fyrsta tíma í þrepum hvaða aðgerðir. Jafnvel án þess að hafa skýrt ákveðnu marki concept runur eru skilja innsær að mismunur verðmæti afleiðu hefur tilhneigingu til að virka þegar ÖH → 0 - Δu / ÖH → Y '(x).

Ólíkt Newton, sem var fyrst og fremst eðlisfræðingur og stærðfræðingur tæki teljast tengd tæki til athugunar á líkamlegum vandamálum, Leibniz greitt meira athygli á þessum tól, þar á meðal kerfi sjón og skiljanlegan tákn stærðfræði gildum. Það var hann sem lagt staðlaða tákn af munur virka dy = y '(x) DX, DX, og að afleiða breytusniðið virka vinna í sambandi y þeirra' (x) = dy / dx.

The nútíma Skilgreiningin

Hvað er munur hvað varðar nútíma stærðfræði? Það er nátengd hugmyndinni um breytu vöxtur. Ef breytistærðin Y tekur fyrsta gildi Y y = _1, þvf næst = y y _2, munurinn _Y2 ─ _Y1 er kallað vöxtur gildið y. The vöxtur getur verið jákvæð. neikvæð og núll. Orðið "vöxtur", er táknað eru ö, Δu upptöku (lesið 'delta-Y') táknar verðmæti vöxtur y. svo Δu = y ₂ ─ y _1.

Ef gildið Δu handahófskennt fallið y = f (X) er hægt fulltrúa sem Δu = A ÖH + ot, þar sem A er ekki reiða sig á ÖH, t. E. A = const fyrir uppgefna x, og hugtakið α hvenar ÖH → 0 hefur tilhneigingu til að það er enn hraðar en í raun ÖH, þá fyrst ( "aðal") í senn hlutfalli ÖH, og er til y = f (x) mismun er táknað dy eða DF (x) (lesið "y de", "de EFF frá X"). Því munur - a "helstu" línuleg með tilliti til efnisþátta þrepum ÖH aðgerðir.

vélrænni skýring

Let s = f (t) - fjarlægð í beinni línu áhrifamikill efni punkt frá upphafsstöðu (t - ferðatíma). Vöxtur Δs - er leiðin benda á tímabili Δt og vaxtamunurinn DS = f '(t) Δt - þetta leið, sem yrði haldinn benda á sama tíma Δt, ef það haldið hraða f' (t), náði á tíma t . Þegar óendanlega Δt DS ímyndaða Slóð frábrugðið raunveruleg Δs óendanlega hafa hærri röð með tilliti til Δt. Ef hraði á tíma t er ekki jafn núlli, áætlaða gildi DS gefur lítið hlutdrægni lið.

geometrísk túlkun

Let línan L er graf y = f (x). Þá Δ x = mq, Δu = QM '(sjá. Mynd hér á eftir). Snertill MN brýtur Δu skera í tvennt, Qn og NM '. Fyrst og SH er í réttu hlutfalli QN = MQ ∙ Tg (angle QMN) = ðH f '(x), t. E qn DY mismunadrif.

Seinni hluti af the mismunur Δu NM'daet ─ dy, þegar ÖH → 0 NM lengd "lækkar enn hraðar en vöxtur í rifrildi, þ.e. það hefur röð smæð hærri en SH. Í þessu tilfelli, ef f '(x) ≠ 0 (ekki samsíða snertilína ox) hlutarnir QM'i QN jafngilda; með öðrum orðum NM 'minnkar hratt (röð smæðarinnar af þess hærri) en heildar vöxtur Δu = HM'. Þetta er augljóst á mynd (nálgast hluti M'k M NM'sostavlyaet allir minni prósenta Qm 'hluti).

Svo, myndrænt mismunur handahófskennt aðgerð er jafn vöxtur á ásnum á snertils.

Afleiða og mismunadrif

A þáttur í fyrsta tíma tjáningarstýriraöa vöxtur virka er jafn verðmæti afleiddra f hans, A '(x). Þannig, sem eftirfarandi hlutfall - dy = f '(x) ðH eða DF (x) = f' (x) ðH.

Það er vitað að vöxtur óháðu rök jafnt sína mismunadrif SH = dx. Samkvæmt því, getum við skrifað: f '(x) DX = dy.

Finndu (stundum sagður vera "ákvörðun") munur er flutt af sömu reglum og fyrir afleiður. Listi þeirra er hér að neðan.

Hvað er meira alhliða: vöxtur á rök eða mismunadrifi hennar

Hér er nauðsynlegt að gera nokkrar skýringar. Representation gildið f '(x) mismunadrif ÖH mögulegt er þegar tekið er tillit x sem rök. En virka getur verið flókið, þar sem x getur verið fall af rifrildi t. Þá, sem að jafnaði, það er þar sem birting mismunandi tjáningu á f '(x) ðH ómögulegt; nema þegar um er að ræða línulega háðir x = Á + b.

Eins og til nokkurn veginn jöfnunni f '(x) DX = dy, þá í tilfelli sjálfstæðra rifrildi x (þá dx = ÖH) í um er að ræða parametric háður X T, er það mismunadrif.

Til dæmis, þá hugtakið 2 x ÖH er fyrir y = x ² mismunaskimunar hennar þegar x er rök. Við nú x = t ² og ráð t rök. Þá er Y = x ² = t ^4.

Þetta er fylgt eftir (T + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Þess vegna SH = 2tΔt + Δt ^2. Þess vegna: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Þetta mál er ekki í réttu hlutfalli við Δt, og því er nú 2xΔh er ekki mismunaskimunar. Það er hægt að finna út frá þeirri formúlu y = x ² = t ^4. Það er jafn dy = 4t ³ Δt.

Ef við tökum tjáningarferju 2xdx, er það vaxtamunurinn y = x ² fyrir við rök t. Reyndar, þegar x = t ^{2 sem} fékkst í dx = 2tΔt.

Svo 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. S Tjáningar munur skráð af tveimur mismunandi breytum saman.

Skipta þrepum mismunadrif

Ef f '(x) ≠ 0, þá sé Δu og dy annarri sambærilegri merkingu (hvenar ÖH → 0); ef f '(x) = 0 (merkingu og dy = 0), eru þeir ekki jafngildar.

Til dæmis, ef y = x ^2, þá er Δu = (x + ÖH) ² ─ x ² = 2xΔh + ÖH ² og dy = 2xΔh. Ef x = 3, þá höfum við Δu = 6Δh + SH ² og dy = 6Δh sem eru jafngild vegna SH ² → 0, þegar x = 0 gildi Δu = SH ² og dy = 0 eru ekki jafngildar.

Þessi staðreynd, ásamt einfaldri byggingu mismunadrifið (m. E. Línuleg með tilliti til ÖH), er oft notuð í um það bil útreikning, á þeirri forsendu að Δu ≈ dy fyrir lítil ðH. Finndu vaxtamunur virka er yfirleitt auðveldara en að reikna út nákvæmlega gildi vöxtur.

Til dæmis höfum við málmkennt teningur með brún x = 10.00 cm. On er hitun á brún lengdur á ÖH = 0,001 cm. Hversu aukinni bindi teningur V? Við höfum V = x ^2, þannig að dV = 3x ² = SH 3 ∙ ∙ ^10. febrúar 0/01 = 3 (cm ^3). Aukin ΔV jafngildi mismunadrif dV, þannig að ΔV = 3 cm ^3. Full útreikning myndi gefa ³ ΔV = 10,01 ─ mars ¹⁰ = 3.003001. En niðurstaðan af öllum tölustöfum nema fyrsta óáreiðanlegar; Því, það er enn nauðsynlegt að umferð allt að 3 cm ^3.

Vitanlega, þessi aðferð er gagnlegt ef það er hægt að meta verðmæti imparted með villu.

Mismunadrif virka: dæmi

Við skulum reyna að finna mismun á fallið y = x ^3, finna afleiðu. Leyfðu okkur að gefa rök hækka Δu og skilgreina.

Δu = (ÖH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + ÖH (ÖH 3xΔh ² + ^3).

Hér er stuðullinn A = 3x ² er ekki háð SH, þannig að fyrsti liðurinn er í réttu hlutfalli SH, hinn aðili 3xΔh ÖH ² + ³ Þegar SH → 0 minnkar hraðar en vöxtur í rifrildi. Þar af leiðandi, sem er aðili 3x ² ÖH er það munar y = xz ^3:

dy = 3x ² ÖH = 3x ² DX eða d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Þar sem D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy við finnum nú fallið y = 1 / x um að loka afleiðu. Þá d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Þess vegna dy = ─ ÖH / x ^2.

Munur helstu reikningsæfingarnar aðgerðir eru hér að neðan.

Nálgunargildi útreikninga því að nota mismunarskimunar

Til að meta fallið f (x), og þess afleiðu f '(x) við x = a er oft erfitt, en að gera það sama í grennd við x = a er ekki auðvelt. Þá koma til aðstoðar áætlaðri tjáningu

f (a + ÖH) ≈ f '(a) ðH + f (a).

Þetta gefur áætlaða gildi af the virka á litlum þrepum í gegnum mismunaskimunar hennar ðH f '(a) ðH.

Þess vegna, þetta uppskrift gefur áætlaða jöfnu fyrir virka í lok benda á hluta af lengd ÖH sem summuna af verðgildi þess í upphafið á hlutanum (x = a) og mismunadrifi í sömu upphafsstað. Nákvæmni aðferðarinnar til að ákvarða gildi fallsins neðan sýnir teikningu.

Hins vegar þekkt og nákvæmlega tjáning fyrir verðmæti function x = a + ÖH gefið er lýst með formúlu endanlegri þrepum (eða, að öðrum kosti, táknar formúla Lagrange er)

f (a + ÖH) ≈ f '(ξ) ðH + f (a),

þar sem punkturinn x = a + ξ er á bilinu frá x = A to x = a + ÖH, Þó að nákvæm staðsetning þess er óþekkt. Nákvæm uppskrift gerir til að meta villa af áætlaðri formúlu. Ef við setjum á Lagrange formúlu ξ = SH / 2, en það hættir að vera nákvæmur, en gefur að jafnaði, miklu betri nálgun en upprunalega tjáningu varðar mismunadrifi.

Mat formúlur villa með því að beita vaxtamun

Mælitæki , í grundvallaratriðum, ónákvæm og koma til Mæligögn svarar til villa. Þau einkennast af því að takmarka algera villa, eða, í stuttu máli, takmörk villa - jákvætt, bersýnilega umfram því að villa miðað við algildi (eða að minnsta mesta lagi það sama við það). Takmarka skekkjumörk er kallað quotient fæst með því að deila henni með algildi mældu gildi.

Let nákvæm formúla y = f (x) fall notað til að vychislyaeniya y, en verðmæti af x er Niðurstöður mælinga, og því færir y villa. Þá að finna takmarkandi alger villa │Δu│funktsii y, með því að nota formúluna

│Δu│≈│dy│ = │ F '(x) ││Δh│,

þar │Δh│yavlyaetsya lélegur villa rök. │Δu│ magn skal ávalar upp á við, eins og rangar útreikning sjálft er að skipta um vöxtur á mismunadrif útreikning.