A kerfi úr línulegum algebraic jafna. Einsleit kerfi úr línulegum algebraic jafna

Í skólanum, hver af okkur rannsakað jöfnuna og, vissulega, því jöfnuhneppi. En ekki margir vita að það eru ýmsar leiðir til að leysa þau. Í dag munum við sjá nákvæmlega allar þær aðferðir til að leysa kerfi línuleg Algebraic jöfnur, sem eru samsettir úr fleiri en tveimur jöfnum.

saga

Í dag vitum við að list leysa jöfnur og þeirra kerfi upprunnið í forn Babýlon og Egyptalands. Hins vegar jafnrétti kunnugleg formi birtist okkur eftir að viðburður af merkið "=", sem var kynnt í 1556 með ensku stærðfræðingsins met. Við the vegur, þetta tákn var valin fyrir ástæðu: það þýðir tvo samsíða jafna hluta. Reyndar er besta dæmið um jafnrétti kemur ekki upp.

Stofnandi nútíma letri og tákn af óþekktum mæli, franska stærðfræðingur fransua Viet. Hins vegar tilnefningu hennar er verulega frábrugðin dag. Til dæmis, veldi af óþekktum fjölda sem hann tilnefndur af bókstafnum Q (lat "quadratus".), Og teningur - (. Lat "Cubus") stafinn C. Þessi tákn virðast nú óþægilegt, en þá var það mest leiðandi leið til að skrifa kerfi línuleg Algebraic jöfnur.

Hins vegar, ókostur í ríkjandi aðferðum við lausn var sú að Stærðfræðingar hafa einungis eiga sér stað að jákvæð rætur. Kannski er þetta vegna þess að neikvæð gildi hafa ekki allir beitingu. eða annar sá fyrsti hátt, en að teljast neikvæð rætur hófst eftir ítalska stærðfræði Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Raphael Bombelli á 16. öld. A nútíma útlit, helsta aðferð við að leysa annars stigs jöfnur (með aðgreini) var stofnað einungis á 17. öld með verkum Descartes og Newtons.

Í miðri 18. öld svissneska stærðfræðingnum Gabriel Cramer fundið nýja leið til að gera lausn Línuleg jöfnuhneppi auðveldara. Þessi aðferð var síðar nefnd eftir honum, og til þessa dags við að nota það. En á aðferð við tala Kramer er svolítið síðar, en nú munum við fjalla jöfnuhneppi og lausnir þeirra sérstaklega frá kerfinu.

línuleg jöfnur

Línuleg jöfnur - einfaldasta jöfnu með breytilegum (s). Þeir tilheyra reiknisegða. Línulegar jöfnur ritað í almennu formi sem hér segir: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b. Skil á þessu formi sem við munum þurfa að undirbúningi kerfi og fylkjum á.

A kerfi úr línulegum algebraic jafna

Skilgreiningu á þessum tíma er: a setja af jöfnur sem hafa sameiginleg óþekktar stærðir og almenna lausn. Venjulega, í skóla leysa öll kerfi með tveimur eða jafnvel þremur jöfnum. En það eru kerfi með fjórum eða fleiri hluti. Við skulum sjá fyrst hvernig á að skrifa þau niður þannig að síðar að það væri þægilegt að leysa. Í fyrsta lagi, kerfið línuleg Algebraic jöfnur mun líta betur ef allar breytur eru skrifaðar eins og x við sama vísitölu: 1,2,3 og svo framvegis. Í öðru lagi ætti það að leiða alla jöfnur til Canonical formi: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... og _n * x _n = b.

Eftir öll þessi skref, getum við byrjað að segja þér hvernig á að finna lausn á Línuleg jöfnuhneppi. Kærlega fyrir það mun koma sér vel fylki.

Matrix

Matrix - borð sem samanstendur af línum og dálkum og þættir hennar eru á mótum þeirra. Þetta getur verið annaðhvort sérstakt gildi eða breytu. Í flestum tilvikum, að tilnefna þætti sem staðsettar eru fyrir undir hnéletruð (t.d., _11, eða ₂₃ vel). Fyrsta vísitölu gefur til kynna línunúmeri, og annað - súluna. Ofangreind fylkin og að ofan og önnur stærðfræði frumefni hægt að framkvæma ýmsar aðgerðir. Þannig getur þú:

1) Draga og bæta sömu stærð töflunnar.

2) að fjölga sér fylkið til að allir tala eða vektor.

3) innleiða: ummyndun burðarefnið sem er matrixa línur í dálkum, og dálkana - í takt.

4) að fjölga sér á grunnefnið, ef fjöldi lína er jafn einn af þeim mismunandi fjöldi um dálkum.

Til að ræða í smáatriðum allar þessar aðferðir, eins og þeir eru gagnlegar fyrir okkur í framtíðinni. Frádráttur og samlagning fylkja er mjög einfalt. Þar sem við tökum sömu stærð fylki, hver þáttur hvert borð er tengjast öðrum hvert frumefni. Þannig bætum við (draga) tveir af þessum þáttum (það er mikilvægt að þeir stóðu á sama vettvangi í fylkjum sínum). Þegar margfaldað með fjölda fylkinu eða vektor þú margfaldar bara hver þáttur af fylkinu með að tala (eða vektor). Lögleiðing - mjög áhugavert ferli. Mjög áhugavert stundum að sjá hann í raunveruleikanum, til dæmis, þegar breyta afstöðu töflu eða síma. Táknin á skjáborðinu er fylki, og með breytingu á stöðu, það er tekin og verður breiðari, en minnkar í hæð.

Við skulum skoða fleiri ferli eins og Matrix margföldun. Þótt hann sagði okkur, og er ekki gagnlegt, en vera meðvitaður og það er enn gagnlegt. Margfalda tveggja fylkja geta verið aðeins undir því skilyrði að fjöldi dálka í einu borði er jafn fjölda annarra lína. Nú taka eitt burðarefnismyndandi línu þætti og öðrum þáttum samsvarandi dálki. Margfalda þeim við hvert annað og síðan upphæð (þ.e.a.s., td, afurð þáttum ₁₁ og ₁₂ och efter ₁₂ b og ₂₂ B verður jafn: a * b _{11 12} + ₁₂ * b og _22). Þannig einn borð atriði, og aðferð svipað og það er fyllt frekar.

Nú getum við byrjað að íhuga hvernig á að leysa Línuleg jöfnuhneppi.

Gauss

Þetta þema byrjaði að eiga sér stað í skólanum. Við vitum mjög vel hugtakið "kerfi tveggja línulegar jöfnur" og vita hvernig á að leysa þau. En hvað ef fjöldi jöfnum er meiri en tveir? Þetta mun hjálpa okkur Gauss aðferð.

Auðvitað, þessi aðferð er þægilegt að nota, ef þú gerir matrix kerfisins. En þú getur ekki breytt henni og ákveða á eigin spýtur.

Svo, hvernig á að leysa það með línuleg jöfnuhneppi Gauss? Við the vegur, jafnvel þótt þessari aðferð og nefnd eftir honum, en fann það í fornöld. Gauss hefur starfsemi fer fram með jöfnum, að lokum leiða í heild til Echelon formi. Það er, þú þarft að ofan (ef rétt setja) frá fyrsta til síðasta jöfnu minnkaði einn óþekkt. Með öðrum orðum, við þurfum að ganga úr skugga um að við höfum fengið, segja, þrjár jöfnur: fyrsta - þrjú óþekktar stærðir, í seinni - tveir í þriðja - einn. Þá, frá síðasta jöfnu, finnum við fyrstu óþekkta, í stað gildi sitt í annað eða fyrsta jöfnu, og ennfremur að finna eftir tvær breytur.

regla Cramer er

Fyrir þróun þessarar tækni er mikilvægt að læra færni auki Frádráttur fylkjum, auk nauðsyn þess að vera fær um að finna áhrifaþætti. Því ef þú ert óþægilegt að gera þetta allt eða veit ekki hvernig, það er nauðsynlegt að læra og vera þjálfaðir.

Hver er kjarni þessa aðferð, og hvernig á að gera það, til að fá línuleg jöfnuhneppi Cramer? Það er mjög einfalt. Við þurfum að byggja upp fylki af tölum (næstum alltaf) stuðlana af kerfi línuleg Algebraic jöfnur. Til að gera þetta, einfaldlega taka fjölda hið óþekkta, og við raða borð í þeirri röð sem þau eru skráð í kerfinu. Ef áður en númerið er merki "-", þá erum við að skrifa neikvæða stuðlinum. Svo gerðum við fyrsta matrix stuðlum af óþekktum, ekki þar á meðal fjölda eftir '=' merkið (auðvitað, að jafnan þarf að minnka við Canonical formi þegar réttur er bara númer og vinstri - allar óþekktar stærðir með stuðlum). Síðan sem þú þarft að gera nokkrar fylkjum - einn fyrir hverja breytu. Í þessu skyni, í fyrra fylki komi einn dálk öllum dálkum tölur með stuðlum eftir '=' 'merkið. Þannig fáum við nokkra fylkjum og þá finna áhrifaþættir þeirra.

Eftir að hafa fundið undankeppni, það er lítill. Við höfum í upphafi fylki, og það eru nokkrir afleidd fylkin, sem svara til mismunandi breytum. Til að fá kerfi lausn, skipta við ákveðu leiðir borð á aðal ráði á töflunni. Talan sem fæst er gildi einni breytu. Á sama hátt, finnum við allar óþekktar stærðir.

aðrar aðferðir

Það eru nokkrar aðferðir til þess að fá lausn á Línuleg jöfnuhneppi. Til dæmis, svokölluð Gauss-Jordan aðferð, sem er notað til að finna lausnir á kerfi Þessi gerð af jöfnum, og snýr einnig að notkun á fylkjum. Það er einnig Jacobi aðferð til að leysa kerfi línuleg Algebraic jöfnur. Hann lagar sig auðveldlega til allra tölvum og er notað til að reikna.

flókið mál

Flókið gerist yfirleitt ef fjöldi jöfnum er minni en fjöldi breytum. Þá getum við vissulega sagt að, eða kerfið er ósamræmi (þ.e. hefur ekki rætur), eða fjöldi ákvarðana sinna hefur tilhneigingu til að óendanleika. Ef við höfum annað mál - það er nauðsynlegt til að skrifa almenna lausn á kerfi línulegar jöfnur. Það mun fela í sér að minnsta kosti eina breytu.

niðurstaða

Hér komum við að lokum. Til að draga saman: við verðum að skilja hvað kerfið fylki, lært að finna almenna lausn á línuleg jöfnuhneppi. Auk þess sem við talið aðra valkosti. Við mynstrağur út hvernig á að leysa Línuleg jöfnuhneppi: Gauss eyðingu og reglu Cramer er. Við ræddum um erfið tilfelli og aðrar leiðir til að finna lausnir.

Í raun er þetta mál er miklu víðtækari, og ef þú vilt að skilja betur það, ráðleggjum við þér að lesa meira af sérhæfðum bókmenntum.